Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 02

[alpercay]

$x$ ve $y$ tam sayı olmak üzere,  $x^2-y^2=1996$  eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ sıralı  ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$x^2 - y^2 = 1996 = 2^2\cdot 499$ şeklinde asal çarpanlara ayıralım. $1996$ çift sayı olduğundan $x$ ve $y$ beraber çift sayı veya beraber tek sayı olabilir. Her iki durumda da $x+y$ ve $x-y$ çift sayı olmalıdır. İki kare farkından $(x-y)(x+y) = 2^2\cdot 499$ yazılabilir.

$$
\left.
\begin{split}
x + y & = 998 \\
 x - y & = 2
\end{split}
\right\}
\quad
\left.
\begin{split}
x + y & = 2 \\
 x - y & = 998
\end{split}
\right\}
\quad
\left.
\begin{split}
x + y & = -998 \\
 x - y & = -2
\end{split}
\right\}
\quad
\left.
\begin{split}
x + y & = -2 \\
 x - y & = -998
\end{split}
\right\}
$$

denklem sistemleri çözülürse $4$ tane $(x,y)$ sıralı ikilisi elde ederiz.