Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 33

[matematikolimpiyati]

$f : \mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Z$  fonksiyonu$,$  her $x,y \in \mathbb Z$  için$,$

   1)  $f(x+1,y+1)+f(x,y) = f(x,y+1)+f(x+1,y)$

   2)  $f(x,0)=x^2$

   3)  $f(0,y)=-y^2$

koşullarını sağlıyor. $f(1000,996)$  aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 7984  \qquad\textbf{b)}\ 1996  \qquad\textbf{c)}\ 16  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

Test tekniği ile  $f(x,y)=x^2-y^2$ fonksiyonunu tahmin etmek zor değil.
$(1)$ de verilen fonksiyonel eşitlikte $x$ ler $f$ nin ilk parametresinde, $y$ ler $f$ nin ikinci parametresinde kalmış. $f(x,y)=g(x)+h(y)$ şeklinde bir fonksiyon $(1)$ i sağlar.
$(2)$ ve $(3)$ ten $g(x)=x^2$ ve $h(y)=-y^2$ nin sağladığı görülür.
$f(1000,996)=1000^2-996^2=(1000-996)(1000+996)=4(2000-4)=8000-16=7984$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$f(x+1,y+1) - f(x+1,y) = f(x,y+1) - f(x,y)$ teleskopik bağıntısını göz önüne alalım.

$y= 0, 1, 2, \dots , n-1$ tam sayı değerini verirsek $f(x+1, n) - f(x+1,0) = f(x, n) - f(x, 0)$ olup $$ f(x+1, n) - f(x, n) = (x+1)^2 - x^2 $$ elde edilir. Şimdi de bu teleskopik ifadede $x=0, 1, 2, \dots , m-1$ tam sayı değerlerini verirsek $f(m,n) - f(0,n) = m^2 - 0^2$ olup $$f(m,n) = m^2 - n^2$$ çözümüne ulaşılır. Ayrıca bu çözümün, verilen ana denklemi sağladığı kontrol edilebilir. Böylece $f(1000, 996) = 1000^2 - 996^2 = (1000 - 996)(1000 + 996) = 7984$ bulunur.