Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 15

[matematikolimpiyati]

Ahmet yalnızca $2,3,4$ rakamlarından oluşan $13$  basamaklı bir sayı tutuyor. Betül $n$  sayıdan oluşan bir liste hazırlıyor.  Bu sayılardan birinin en az $5$  basamağı Ahmet'in tuttuğu sayının karşılık gelen basamakları ile çakışıyorsa Betül oyunu kazanıyor. Ahmet'in tuttuğu sayı ne olursa olsun Betül'ün oyunu kazanması için $n$  en az kaç olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 13  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Ahmet'in tuttuğu sayıda en çok tekrarlanan sayı en az $\left \lceil \dfrac {13}3 \right \rceil = 5$ kez geçecektir.

Betül'ün tahminleri $2222222222222$, $3333333333333$, $4444444444444$ olursa Betül oyunu kazanacaktır.
Betül $3$ tahminde oyunu kazanmayı garantileyebiliyor. Peki $2$ tahminde de kazanabilir mi?
Betül'ün tahminleri $a_1a_2\dots a_{13}$ ve $b_1b_2\dots b_{13}$ olsun. Ahmet $c_i \in \{2,3,4\} - \{a_i, b_i\}$ şeklinde $c_1c_2\dots c_{13}$ sayısını tutmuş olsaydı, Betül hiçbir sayının yerini bilemeyecekti. O halde Betül iki tahminde oyunu kazanmayı garantileyemez.