Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$m(\widehat{A}) < 90^{\circ}$  olan bir $ABCD$  paralelkenarının $[BC]$  kenarına $C$  noktasından çıkılan dikmenin $AB$  doğrusunu kestiği nokta $E$  olmak üzere$,$

$|AB|=|CE|=2|BC|=2\sqrt2$  ise $|AC|^2+|DE|^2$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8\sqrt5+26  \qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt{10}+26  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt5+16  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{10}+16  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt2+26$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$.

$AD$ ile $EC$, $F$ de keşissin.
$BC\parallel AF$ olduğu için $\angle AFE = \angle BCE = 90^\circ$
Pisagordan elde ettiğimiz $AC^2=FA^2+FC^2$, ve $DE^2=FD^2+FE^2$ eşitliklerini taraf tarafa toplarsak $AC^2+DE^2=FA^2+FE^2+FD^2+FC^2=AE^2+CD^2$ elde ederiz.
$\triangle BCE$ de Pisagor'dan $BE=\sqrt{10}$.
$AE=AB+BE=2\sqrt 2 + \sqrt{10}$ ve $CD=2\sqrt 2$ eşitliklerini yerine yazarsak $AC^2+DE^2=(2\sqrt2 + \sqrt {10})^2+(2\sqrt 2)^2=26+8\sqrt 5$