Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 08

[matematikolimpiyati]

$x^2-10x-14=2\sqrt{x^2-10x+1}$  eşitliğini sağlayan tüm $x$ gerçel sayılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ -9  \qquad\textbf{d)}\ -20  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$t=x^2-10x-14$ olsun.
Denklem $t=2\sqrt{t+15}$ denklemine dönüşür.
$t^2=4t+60 \Longrightarrow (t+6)(t-10)=0$.
$t$ negatif olamayacağı için $t=10$ dur.
$x^2-10x-14=10 \Longrightarrow x^2-10x-24=(x-12)(x+2)=0$  denkleminin kökler toplamı $10$ dur.