Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 33

[matematikolimpiyati]

$a,b$  pozitif gerçel sayılar olmak üzere$,$

$a^{\ln b}.b^{\ln a} + a^{\ln b} + b^{\ln a} = 8$  ise$,\ (\ln a).(\ln b)$ çarpımı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac12 \ln 2  \qquad\textbf{b)}\ \ln 2  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac32 \ln 2  \qquad\textbf{d)}\ 3 \ln 2  \qquad\textbf{e)}\ (\ln 2)^2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$a=e^x$ ve $b=e^y$ dönüşümü yapalım. Bu durumda $\ln{a}=x$ ve $\ln{b}=y$ elde edilir. Verilen eşitlikten $$e^{2xy}+2e^{xy}=8$$ elde edilir. $e^{xy}=t$ dersek, $$t^2+2t=8\implies (t+1)^2=9\implies t=-1\pm 3=-4,2$$ çözümleri elde edilir. $t>0$ olduğundan $t=e^{xy}=2$ bulunur. Buradan $xy=(\ln{a})\cdot (\ln{b})=\ln 2$ elde edilir.