Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 24

[matematikolimpiyati]

$\quad$

Şekilde $A$  noktasından geçen iki çemberden $d$  doğrusuna $B$'de teğet olanın yarıçapı $9,\ C$'de teğet olanın yarıçapı $4$'tür. $ABC$  üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt6  \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{13}$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$B$ de teğet olan çemberin merkezi $O_1$, $C$ de teğet olanın merkezi $O_2$, $(ABC)$ çemberinin merkezi de $O$ olsun.
$\angle AOC = 2\angle ABC = \angle AO_1B$
$\angle AOB = 2\angle ACB = \angle AO_2C$

Bu durumda $\triangle AOC \sim \triangle AO_1B$ ve $\triangle AOB \sim \triangle AO_2C$. Benzerlik oranlarını yazıp $$\dfrac{OC}{O_1B}=\dfrac{AC}{AB}, \quad \dfrac{OB}{O_2C}=\dfrac{AB}{AC}$$ taraf tarafa çarparsak $OB^2= O_1B\cdot O_2C=9\cdot 4 = 36 \Longrightarrow OB = 6$ elde edilir.