Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 14

[alpercay]

$n^n+1=(n+1)(2n+1)$ eşitliğinin tam sayılar kümesinde kaç çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$n\leq -2$ iken $n^n + 1$ ifadesi tam sayı değildir. Bu durumda çözüm gelmez. $-1 \leq n \leq 3$ için denenirse, $n=-1$ ve $n=3$ için eşitliğin sağlandığı görülebilir. $n=4$ için $n^n + 1 = 4^4 + 1 = 257$, $ (n+1)(2n+1) = 5 \cdot 9 = 45$ tir. $n\geq 4$ için $n^n+ 1$ ifadesi $(n+1)(2n+1)$ ifadesinden çok daha hızlı büyümektedir. Bu durumda $n^n + 1>(n+1)(2n+1)$ olup çözüm yoktur. Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi $\{-1, 3 \}$ olur.