$x+y+z=A$ sayısını sabitleyelim, $t=x,y,z$ için $$\frac{t^3+a}{A-t}=-3\implies t^3-3t+3A+a=0$$ bulunur. Bu üçüncü dereceden denklemin en fazla 3 kökü vardır ve bu 3 kökü $x,y,z$ olmalıdır. Yani $$(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-3t+3A+a$$ olmalıdır. Vieta'dan $x+y+z=A=0$ olmak zorundadır. Aksi takdirde çelişki elde ederiz. Yani $x,y,z$ sayıları, $P(t)=t^3-3t+a$ polinomunun farklı kökleridir. $$P'(t)=3t^2-3\implies P'(t)=0 \text{ denkleminin kökleri } \pm 1$$ $P(1)=a-2$ ve $P(-1)=a+2$'dir. Polinomun 3 tane kökü olması için lokal maksimum/minimum noktalarında katlı kök olmamalı ve bu noktalardaki görüntüleri zıt işaretli olmalıdır. $P(1)<P(-1)$ olduğundan $a+2>0$ ve $a-2<0$ olmalıdır. Yani $a\in (-2,2)$'dir. İfadelerin tanımlı olması için $x+y$, $y+z$, $x+z$ değerleri $0$'dan farklı olmalıdır. $x+y+z=0$ olduğundan $x,y,z$ değerleri de $0$'dan farklı olmalıdır. Dolayısıyla $a\neq 0$ olmalıdır. Buradan $a\in (-2,2)-\{0\}$ elde edilir.
