2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18

[matematikolimpiyati]

$x,y$ ve $z$ pozitif reel sayılar olmak üzere$,\ 7x-y+4z=7$  ise

                                 $2x^2+x^3+z^2-y+1071$

ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulunuz.

$\textbf{a)}\ 1069  \qquad\textbf{b)}\ 1070  \qquad\textbf{c)}\ 1072  \qquad\textbf{d)}\ 1071  \qquad\textbf{e)}\ 1068$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$y$'i yok etmek için $-y=7-4z-7x$ yazalım. Buradan ifade $$x^3+2x^2+z^2+7-4z-7x+1071=(x^3+2x^2-7x+1074)+(z^2-4z+4)$$ bulunur. $z^2-4z+4=(z-2)^2\geq 0$ olduğunu biliyoruz. Geriye kalan $x^3+2x^2-7x+1074$'ün minimum değerini bulmalıyız. Eğer bu polinoma $P(x)=x^3+2x^2-7x+1074$ dersek, $$P'(x)=3x^2+4x-7=(x-1)(3x+7)$$ buluruz. Yani $x>0$ için tek kritik nokta sınır değeri $x\to 0^+$ ve $x=1$'dir. Polinomdan bahsettiğimizden $1$'de lokal minimum olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla en küçük değer $x=1$'de alınır. $$P(x)=x^3+2x^2-7x+1074\geq P(1)=1070$$ olduğundan $$(x^3+2x^2-7x+1074)+(z^2-4z+4)\geq 1070$$ olacaktır. Eşitlik durumu da $(x,y,z)=(1,8,2)$'dir.

[Lokman Gökçe]

Yanıt $\boxed{B}$

Türev kullanılmayan bir çözüm verebiliriz. $2x^2+x^3+z^2-y+1071$ ifadesinde $y=7x + 4z - 7$ yazılırsa, minimum değerini bulmak istediğimiz ifade

$$ S = x^3 + 2 x^2 -7x + z^2 - 4z + 1078$$

olur. Aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden $x^3 + x^2 + x^2 + 1 + 1 + 1 + 1 \geq 7x $ olur. Ayrıca $z^2 - 4z + 4 = (z-2)^2 \geq 0$ dır. Eşitlik durumları $x=1$ ve $z=2$ için geçerlidir. Bu halde $y=7\cdot 1 + 4\cdot 2 - 7 = 8 $ dir. Bu eşitsizliklerin toplamından, $S \geq 1070$ elde edilir. $(x,y,z) = (1,8,2)$ için $S_{\min} = 1070$ olur.