2010 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07

[matematikolimpiyati]

Şekilde $|AB|=13,\ |DC|=17,\ |AE|=3|ED|$  ve  $|BF|=3|FC|$ olduğuna göre$,\ |EF|$ uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed {C}$

$F$'den geçip $DC$'ye paralel olan doğrunun $DB$ ile kesişimi $T$ olsun. $\frac{|DT|}{|DB|}=\frac{1}{4}$ olduğundan $ET||AB$'dır. Benzerliklerden $|TF|=\frac{51}{4}$ ve $|TE|=\frac{13}{4}$ olduğu kolayca görülür. $ETF$ üçgeninde üçgen eşitsizliğinden $\frac{19}{2}<x<16$ bulunur. Bu aralıkta $10,11,\cdots,15$ tamsayıları bulunur ve bunların sayısı $6$'dır.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$F$ den geçip $DC$ ye paralel olan doğrunun $DB$ ile kesişimi $T$ olsun. $TF\parallel DC$ olduğundan $BTF\sim BDC$ ve $\dfrac{|BT|}{|BD|}=\dfrac{|BF|}{|BC|}=\dfrac34$ olur. Buradan
\[
\dfrac{|DT|}{|DB|}=\dfrac14,
\quad
|TF|=\dfrac34|DC|=\dfrac{51}{4}
\]
elde edilir. Öte yandan $|AE|=3|ED|$ olduğundan $\dfrac{|DE|}{|DA|}=\dfrac14$ olur. $DAB$ üçgeninde $\dfrac{|DE|}{|DA|}=\dfrac{|DT|}{|DB|}$ olduğundan $ET\parallel AB$ dır. Böylece $DET\sim DAB$ ve $|TE|=\dfrac14|AB|=\dfrac{13}{4}$ bulunur.

Şimdi $ETF$ üçgenine üçgen eşitsizliği uygulanırsa $\bigl||TF|-|TE|\bigr| \le |EF| \le |TF|+|TE|$ olur. Yani $\dfrac{19}{2}\le |EF|\le 16$. Alt eşitlik için $E,T,F$ noktalarının doğrusal olup $E$ ve $F$ noktalarının $T$ nin aynı tarafında bulunması gerekir. Bu durum dışbükey bir dörtgende mümkün değildir. Üst sınır ise $AB \parallel EF \parallel CD$ durumunda elde edilir. Dolayısıyla $\dfrac{19}{2}<|EF|\le 16$ bulunur. Bu aralıkta $10,11,12,13,14,15,16$ tam sayıları bulunduğundan cevap $7$'dir.