Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 19

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki $a$ ve $b$ değerlerinden hangisi için $5$ tabanına göre yazılımı $(aaabbbaaabbbaaa)_5$ olan sayı $4$ ile tam olarak bölünmez?

$\textbf{a)}\ a=4,\ b=0  \qquad\textbf{b)}\ a=2,\ b=3  \qquad\textbf{c)}\ a=2,\ b=1  \qquad\textbf{d)}\ a=1,\ b=2  \qquad\textbf{e)}\ a=0,\ b=2$

[ygzgndgn]

Cevap: D

Bu sayı mod 4'te incelenirse 5≡1(mod 4) olduğundan sayı a'ların ve b'lerin toplamına dönüşür. Bu şu şekilde de ifade edilebilir: A=a(5⁰+5¹+5²+5⁶+5⁷+5⁸+5¹²+5¹³+5¹⁴)+b(5³+5⁴+5⁵+5⁹+5¹⁰+5¹¹)≡a(1+1+1+1+1+1+1+1+1)+b(1+1+1+1+1+1)≡9a+6b≡a+2b(mod 4). Şıklardaki verilen değerler a ve b yerine konup denenirse a+2b ifadesinin a=1, b=2 değerleri için 4'ün katı olmadığı görülür. Dolayısıyla sayımız bu değerler için 4 ile tam bölünmez.