Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 09

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ sayıları

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{8}{2x+y}$   ve  $x^2+2y^2=4$  eşitliklerini sağlıyorsa aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

$\textbf{a)}\ (x-y)^2<1  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{y}{x}\ \text{tam sayıdır.}  \qquad\textbf{c)}\ x\ \text{ve}\ y\ \text{tam sayı değildir.}  \qquad\textbf{d)}\ x+y\ \text{tam sayıdır.}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[ygzgndgn]

Cevap: E

Paydalar eşitlenirse (2x+y)/xy=8/(2x+y) denklemi elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapılırsa 4x²+4xy+y²=8xy olur. Buradan 4x²-4xy+y²=(2x-y)²=0 bulunur. Bunun sağlanması için gerek ve yeter koşul 2x=y olmasıdır. İki tarafın karesi alınırsa 4x²=y² olduğu görülür. İki taraf da 2'yle çarpılırsa 8x²=2y² olduğu görülür. Verilen ikinci denklemde 8x² yerine konursa 9x²=4 bulunur. Buradan x=±(2/3) bulunur. İkinci denklemde x yerine konursa y²=16/9 olduğu görülür. Böylelikle y=±(4/3) bulunur. Bulduğumuz 2x= y eşitliğinden ötürü geçerli (x,y) ikilileri (2/3,4/3) ve (-2/3,-4/3) olarak bulunur. Şıkları teker teker deneyelim.

a) (2/3-4/3)²=4/9<1 veya (-2/3+4/3)²=4/9<1 olur. Bu ifade doğrudur.
b) ±(4/3)/(2/3)=±2 olur. 2 de -2 de tam sayıdır. Bu ifade doğrudur.
c) x ve y her halükarda tam sayı değildir. Bu ifade doğrudur.
d) 2/3+4/3=6/3=2 veya -2/3-4/3=-6/3=-2. 2 de -2 de tam sayıdır. Bu ifade doğrudur.
e) Her ifade doğru olduğundan cevap e olur.