Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1997 Soru 01

[matematikolimpiyati]

$n$ nin kaç değişik tam sayı değeri için $\dfrac{n^2}{n+4}$ tam sayı olur?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 10  \qquad\textbf{e)}\ 12$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$\dfrac{n^2}{n+4} = \dfrac{n^2-16}{n+4} + \dfrac{16}{n+4} = n-4 +\dfrac{16}{n+4}$
ifadesinin tam sayı olabilmesi için $n+4$ ün $16$ yı tam bölmesi gerekir. $16 = 2^4$ ve $16$ nın pozitif bölenleri sayısı $5$, dolayısıyla tam bölenlerinin sayısı $10$ olacaktır. $16$ nın herhangi bir böleni $d$ olsun. $n+4 = d \Longrightarrow n = d -4$ sayıları aradığımız sayılardır. Bu sayıların sayısı da $d$ lerin sayısı kadardır.

[geo]

$n+4 = m$ olsun. $n$ tam sayı ise $m$ de tam sayıdır.

$\dfrac{n^2}{n+4} = \dfrac {(m-4)^2}m = \dfrac{m^2-8m+16}m = m - 8 + \dfrac {16}m$ ifadesini tam sayı yapan $m$ lerin sayısı $16$ sayısının tam bölenlerinin sayısı kadardır, yani $10$ dur.