Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 05

[matematikolimpiyati]

$a^2x^2+\sqrt{x-2\sqrt5}+4=4ax$  denkleminin en az bir $x$ gerçel çözümünün olmasını sağlayan $a$ değeri nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt5  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt5}{5}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Biraz düzenlemeyle $$\underbrace{(ax-2)^2}_{\geq 0} + \underbrace{\sqrt{x-2\sqrt 5}}_{\geq 0} = 0$$ elde ederiz. Denklemin gerçel çözümünün olabilmesi için $$x=2\sqrt 5 \quad \text{ve} \quad ax = 2$$ olması gerekir. Buradan $a=\dfrac{2}{2\sqrt 5}=\dfrac {\sqrt 5}{5}$ elde edilir.