İddia: $3\mid t$ ise trigonometrik değerleri sadece dört işlem ve kök alma ile ifade edebiliriz, aksi taktirde edemeyiz.
Öncelikle $a^\circ$ ve $b^\circ$ için trigonometrik fonksiyonları biliyorsak herhangi $k,t$ tamsayıları için $ak$ ve $bt$ için de hesaplayabiliriz. Dolayısıyla $ak+bt$ değerlerini hesaplayabiliriz. $15^\circ$ ve $18^\circ$ değerlerini bildiğimizden $3$ dereceyi de hesaplayabiliriz. Hatta hesaplayalım. $$\cos(3^\circ)=\cos(18^\circ-15^\circ)=\cos{18^\circ}\cos{15^\circ}+\sin{18^\circ}\sin{15^\circ}=\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$$ olur. Yani $3$'ün katı tüm değerleri için trigonometrik fonksiyonları hesaplayabiliriz. Eğer $3$'ün katı olmayan bir $t$ tamsayı değeri için $\cos{t^\circ}$'yi hesaplayabiliyorsak, o halde $3x+ty=1$ olacak şekilde $x$ ve $y$ tamsayıları olduğundan $1^\circ$ derece için de hesaplayabiliriz.
Ancak Gauss teoremi der ki bir düzgün $n$-gen sadece cetvel ve pergelle çizilebiliyorsa $p_i$'ler fermat asalı olmak üzere $n=2^kp_1p_2\cdots p_t$ formatında olmalıdır, tersi de doğrudur. Yani bir $360$-gen pergel ve cetvel ile çizilemez. Eğer $1^\circ$ derece için $\cos{1^\circ}$ değerini sadece dört işlem ve kök alma ile ifade edebilseydik, $1^\circ$ dereceyi de cetvel ve pergelle oluşturabilirdik ve dış açısı $1^\circ$ derece olan $360$-geni çizebilirdik. Dolayısıyla $\cos{1^\circ}$ değeri bu formatta olamaz. Buradan da çelişki elde ederiz.
Sonuç olarak $3\mid t$ değilse $\cos{t^\circ}$'i dört işlem ve kök alma ile elde edemiyoruz. Peki küp kök alma işlemi ile elde edebilir miyiz?
