Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2001 Soru 01

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çemberinin merkezinden geçen ve $BC$ ye paralel olan doğru$,\ [AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $|AB|=12$ ve $|AC|=18$ olduğuna göre$,\ AEF$ üçgeninin çevresinin uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ 20  \qquad\textbf{b)}\ 24  \qquad\textbf{c)}\ 28  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 32$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{30}$

Genel olarak $Çevre(AEF) = |AB| + |AC|$ olduğunu gösterelim. İç teğet çemberin merkezi $I$ olmak üzere $I \in [EF]$ dir. $[BI], [CI]$ iç açıortayları çizilirse $EF \parallel BC$ olduğundan $|BE|=|EI|$ ve $|CF|=|FI|$ olur. $Çevre(AEF) = |AE| + |EF| + |AF| = (|AB| - |EB|) + (|EI| + |IF|) + (|AC| - |FC|) = |AB| + |AC|$ dir.

Özel olarak, $|AB|=12, |AC|=18$ verildiği için $Çevre(AEF) = 12 + 18 = 30$ olur.