2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

Bir kırtasiyede yedi farklı uzunlukta cetvel türü bulunuyor. Herhangi iki cetvel için, uzunlukları toplamı bu iki cetvelin uzunlukları toplamına eşit olan başka iki cetvel daha bulunuyorsa, kırtasiyede en az kaç cetvel vardır?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 13  \qquad\textbf{d)}\ 14  \qquad\textbf{e)}\ 28$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Cetvel uzunluklarını $a_1<a_2<\dots<a_7$ olarak sıralayalım. $a_1+a_2$'yi iki defa elde etmek için bu uzunluklarda en az ikişer cetvel bulunmalıdır. $a_1+a_1$'yi elde etmek için yine $2$ cetvel daha eklemeliyiz. Yani $a_1$ uzunluğundaki cetvelden en az $4$ tane vardır. Benzer bir mantığı $a_6+a_7$ için de uygularsak, $a_6$'dan en az iki tane, $a_7$'den ise en az $4$ tane bulunmalıdır. En az $4+2+1+1+1+2+4=15$ cetvel vardır. Örnek durum olarak ise $$1,1,1,1,2,2,3,4,5,6,6,7,7,7,7$$ olarak verilebilir.