2005 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[matematikolimpiyati]

$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$ pozitif tam sayılarının ikişer-ikişer toplanmasıyla elde edilen sayı kümesinin $\{18,26,29,34,36,37,44,45,52,55\}$ olduğu bilindiğine göre$,\ x_2$ sayısının rakamlar toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 4$ 

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Bu $5$ sayıdan $2$ tanesini $\dbinom{5}{2}=10$ farklı seçebileceğimizden, tüm ikililer farklı toplam vermiştir. Elde edilebilecek en küçük iki toplam $x_1+x_2$ ve $x_1+x_3$'dür. Üçüncü en küçük sayı ise $x_2+x_3$ veya $x_1+x_4$'dür. Ancak $x_2+x_3$ daha küçük olsaydı $$(x_1+x_2)+(x_1+x_3)+(x_2+x_3)=18+26+29=73$$ olur ancak bu da teklik-çiftlikte çelişki çıkarır. Demek ki en küçük üçüncü toplam $x_1+x_4$'dür. Buradan, $x_2+x_3$ ile $x_2+x_4$ arasındaki fark $x_1+x_3$ ile $x_1+x_4$ arasındaki fark olan $3$'e eşittir. Bu yüzden $(x_2+x_3,x_2+x_4)=(34,37)$ dışında bir ihtimal yoktur. $$x_1+x_2=18$$ $$x_1+x_3=26$$ $$x_2+x_3=34$$ denklemlerini taraf tarafa toplarsak, $x_1+x_2+x_3=39$ bulunur. Buradan da $x_2=13$ elde edilir. Rakamları toplamı $4$'dür.