2004 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 03

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeninde, $\widehat A$ ve $\widehat B$ açılarının açıortayları $[AN]$ ve $[BM]$'nin kesişim noktası $O$ olsun. $OMCN$ dörtgeni kirişler dörtgeni olduğuna göre, $\widehat{BMN}$ açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 36  \qquad\textbf{b)}\ 30  \qquad\textbf{c)}\ 45  \qquad\textbf{d)}\ 22,5  \qquad\textbf{e)}\ 54$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{B}$

$ABC$ üçgeninde $[AO]$ ve $[BO]$ açıortay olduğu için $[CO]$ da açıortaydır.

$\angle CAO = \angle OAB = \alpha$, $\angle ABO = \angle OBC = \beta$ ve $\angle BCO = \angle OCA = \theta$ olsun.

$OMCN$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle OMN = \angle OCN= \angle OCM = \angle ONM = \theta$ olur.

$ABO$ üçgeninden $\angle BON = \alpha + \beta$ ve $MNO$ üçgeninden de $\angle BON = 2 \theta \implies \alpha + \beta =2 \theta$ elde edilir.

$ABC$ üçgeninde iç açılar toplamı kullanılarak $2\alpha + 2\beta +2\theta =2(\alpha + \beta) + 2\theta = 2(2\theta) + 2\theta = 4 \theta + 2 \theta = 6 \theta = 180^{\circ} \implies \theta = 30^{\circ}$ ve buradan da $\angle BMN = \theta =30^{\circ}$ bulunur.