Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2003 Soru 07

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde$,\ m(\widehat{DBC})=m(\widehat{DCB})$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $m(\widehat{ABD})=2m(\widehat{DBC}),\ |AD|=8$ ve $|DC|=2$ olduğuna göre $|BC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac72  \qquad\textbf{e)}\ 4$ 

[ygzgndgn]

Cevap: B

Açıları eşit olduğundan BDC üçgeni ikizkenardır. m(DBC)=m(DCB)=a denirse m(ABD)=2a olduğu bilinmektedir. BDC üçgeninin dış açısı olarak m(ADB)=2a yazılırsa ABD üçgeninin de ikizkenar olduğu görülür. ABD ve ADB açılarının açıortayları çizilir ve iç teğet çemberin merkezine I denirse, A'dan [BD]'na indirilen dikme ayağı E olmak üzere [AE]'nın ikizkenarlıktan dolayı I noktasından geçtiği görülür. |BD|=2 olduğundan |BE|=1 olarak bulunur. ABD üçgeninin ikizkenarlığından dolayı |AB|=8 olarak bulunur. Bu verilerle ABE üçgenine Pisagor Teoremi uygulanırsa [AE]=3kök(7) olarak bulunur. Böylelikle ABD'nin alanı 3kök(7)*2/2=3kök(7) olarak bulunur. ABD üçgeninin yarıçevresi ise 8+8+2/2=9. A(ABD)=Yarıçevre*İç Teğet Çemberin Yarıçapı eşitliğinden I merkezli çemberin yarıçapı ve dolayısıyla |IE| kök(7)/3 olarak bulunur. IED üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa |ID|=|IB|=4/3 olarak bulunur. Açı-Açı-Açı benzerliğinden IBD benzerdir DBC olarak bulunur. |BC|=k denirse bu benzerlikten (4/3)/2=2/k olarak bulunur. Böylelikle k=|BC|=3 bulunur.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$m(\widehat{DBC}) = m(\widehat{DCB}) = \alpha $ derirse $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = 2 \alpha $ olur. İkizkenar üçgenlerden dolayı $|AB|=|AD| = 8 $, $|DB| = |DC| =2$ dir. $|BC|=x$ olsun. $ABC$ üçgeninde Stewart teoremi uygulanırsa
$$ 2^2 = \dfrac{8^2\cdot 2 + x^2\cdot 8}{8 + 2} - 8\cdot 2 $$
olur. Eşitliğin her iki yanını $5$ ile çarpıp $4$ ile sadeleştirirsek $5 = 16 + x^2 - 20$ olup $x=3$ bulunur.

[geo]

Lokman Hoca'nın Stewart kullanarak yaptığı çözümü ana çözüm olarak kabul edebiliriz.

Yağız'ın çözümü de hoş. Belki doğrudan $u^2r^2=u(u-a)(u-b)(u-c)$ ve $IB=r^2+1$ yazılarak çözüm basitleştirilebilir.

$B$ den $AD$ ye inilen yüksekliği hesaplayarak da çözüme gidebiliriz (Stewart'ın ispatı). Bunu alandan, pisagordan veya
$AD$ üzerinde $BD=BE$ olacak şekilde $E$ noktası alıp benzerlik ve ikizkenar üçgen özellikleri kullanarak da yapabiliriz.

Açıortay teoremi kullanarak da çözüme gidebiliriz. Biri $C$ den $BD$ ye paralel çizmek, bu en basit işlem barındıran çözüm oluyor, diğeri $D$ den $BC$ ye paralel çizmek.

Bir diğer fantezi çözüm, $[BD$ üzerinde $ABCE$ ikizkenar yamuk olacak şekilde $E$ noktası alıp Ptolemy uygulamak.
Bu konfigürasyonda $ABD$ ikizkenar üçgeninin dışındaki $E$ noktası için Stewart'ın özel halini kullanarak da çözüme gidebiliriz. Bunun nasıl olacağı kafanızda canlanmadıysa rahmetli Fikri Gökdal'ın Matematik Dünyası Dergisinin Aralık 1999 sayısında yazdığı Bir ÖSS Sorusu Üzerine Notlar makalesine başvurabilirsiniz.