Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 28

[matematikolimpiyati]

Ondalık yazılımlarında hiçbir rakamın yan yana tekrarlanmadığı ve $1 \leq n \leq 10^{1997}$ koşulunu sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 9^{1997}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9^{1998}-9}{8}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9^{1997}-1}{8}  \qquad\textbf{d)}\ 10.9^{1996}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$n=10^{1997}$ şartı sağlamadığından $n<10^{1997}$ kabul edebiliriz. Yani $n$ en fazla $1997$ basamaklı olabilir. $k$ basamaklı olsun. Soldan ilk basamak $0$ olamayacağından $9$ tane değer alabilir. Ondan sonraki basamaklar ise $0$ olabilir ama ondan önceki basamak olamazlar. Dolayısıyla onlar için de $9$ değer vardır. Sonuç olarak $9^k$ tane $k$ basamaklı şartı sağlayan sayı vardır. $k=1,2,\dots, 1997$ olabileceğinden aradığımız cevap $$\sum_{k=1}^{1997} 9^k=\dfrac{9^{1998}-1}{9-1}-1=\dfrac{9^{1998}-9}{8}$$ olacaktır.