Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 36

[matematikolimpiyati]

$a,b,c,r,s,t \in \{0,1,2,3,4\}$ olmak üzere, $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ polinomlarından kaç tanesi, $f(x) \equiv (x+r)(x^2+sx+t) \pmod{5}$ şeklinde bir denkliği sağlamaz?

$\textbf{a)}\ 30  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 20  \qquad\textbf{d)}\ 40  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$f(x) \equiv(x+r)\left(x^{2}+s x+t\right)(\bmod 5)$ şeklinde gösterilebilen polinomları saydığımızda $r, s, t$ sayıları $5$'er değişik değer alabildikleri için $5^{3}$ seçenek çıkıyor, fakat bunlardan bazılarını birkaç kez saymış oluyoruz. $r, u, v$ birbirinden farklı olacak şekilde $(x+r)(x+u)(x+v)$ biçiminde yazılabilen $\dbinom 53$ tane polinomu $3$'er kez saymışız, $2$'sini çıkarmamız gerekir. $u \equiv v \pmod 8$ olacak şekilde $\left[(x+u)(x+v)^{2}\right]$ biçiminde yazlabilen $5 \cdot 4=20$ tane polinomu $2$'şer kez $\left[(x+u)(x+v)^{2}\right]$ ve $(x+v)[(x+u)(x+v)]$ şeklinde yazmışız, birini çıkarmamız gerekir. Tüm polinomların sayısı $5^{3}$ tür ve bunlardan $5^{3}-2\dbinom 53-5 \cdot 4$ tanesi $(x+r)\left(x^{2}+x+t\right)$ şeklinde yazılabilir. Bu şekilde yazılamayanların sayısı da $$
5^{3}-\left[5^{3}-2\dbinom 53-5 \cdot 4\right]=40
$$ olacak.

Kaynak: Sonlu Matematik Olimpiyat Soruları ve Çözümleri, Refail Alizade, Ünal Ufuktepe, 2006. Problem No: 2.62, Sayfa 140.