Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2004 Soru 21

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $s(\widehat{CAB})=115^{\circ},\ s(\widehat{ABC})=25^{\circ},\ |CB|=a,\ |AC|=b$ ise $C$ den $AB$ ye inilen yüksekliğin uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{ab}{a+b}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}  \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{a^2+b^2}-\dfrac{a+b}{3}  \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{a^2+b^2-ab}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{a-b}{ab}$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{B}$

$C$ den $AB$ ye inilen yükseklik ayağına $H$ diyelim ve $CH$ uzunluğu $h$ olsun.
$ACH$ üçgeninde $\cos (25^{\circ}) = \dfrac{h}{b}$ ve $BCH$ üçgeninde $\sin (25^{\circ}) = \dfrac{h}{a}$ olur.
$\sin^2(25^{\circ})+\cos^2(25^{\circ})=1 \implies \dfrac{h^2}{b^2}+\dfrac{h^2}{a^2}=1 \implies h^2 \left( \dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{a^2} \right)=1 \implies h^2 = \dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2} \implies h=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: $C$ den $AB$ ye inilen yükseklik ayağına $H$ diyelim ve $|CH|=h$ olsun. $AHC$ dik üçgenini $CH$ doğrusuna göre yansıtarak $DHC$ dik üçgenini oluşturalım. $|CD|=|CA|=b$ olur. $s(\widehat{DCB})=25^\circ + 25^\circ + 40^\circ = 90^\circ $ olduğundan, Pisagor teoreminden $|DB| = \sqrt{a^2 + b^2}$ olur. $DBC$ dik üçgeninde alan bağıntısından $|CH|\cdot |DB| = |DC| \cdot |CB|$ ve böylece $h\cdot  \sqrt{a^2 + b^2} = bc$ dir. O halde, $h= \dfrac{bc}{\sqrt{a^2 + b^2} }$ olur.