1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 09

[matematikolimpiyati]

Şekilde, bir eşkenar üçgen $9$ tane eşkenar üçgene parçalanmıştır. Düğüm noktalarından en az kaç tanesi silinmelidir ki, köşeleri kalan noktalarda olan bir eşkenar üçgen çizilemesin?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Silinecek noktalar çeşitli yöntemlerle seçilebilir. Aşağıda iyi yöntem sunuldu.


Çözüm 1: Kenar uzunluğu $1, 2, 3$ birim olan eşkenar üçgenler olduğundan bunları yok etmek için biraz deneme ile en az $4$ nokta silmemiz gerektiğini gözlemleyebiliriz. Çünkü $3$ nokta seçimi ile tüm eşkenar üçgenleri yok edemediğimizi gözlemliyoruz. Merkezdeki nokta ve köşedeki $3$ noktayı silmek yeterlidir.

Resmi çözüm kitabından aldığım çözüm aşağıdaki şekildedir.  En az $4$ noktanın silinmesi gerektiği ile ilgili ne gibi bir ispat sunulduğunu merak ettim. Kitapta da bu tür bir ispat yoktu. Yani bu soruyu sezgilerimizle çözmemiz bekleniyor diye anlıyoruz.

Çözüm 2: En az $4$ nokta atılmalıdır (Şekilde, atılması gereken noktalar çember içine alınmıştır).