2002 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[matematikolimpiyati]

$1$'den $99$'a kadar ($1$ ve $99$ dahil) tüm tek sayıları alalım. Bu sayıların hepsinin toplamına $A_1,$ tüm ikişerli çarpımlar toplamına $A_2,$ tüm üçerli çarpımlar toplamına $A_3,...,$ tüm $49$-arlı çarpımlar toplamına $A_{49}$ ve hepsinin çarpımına $A_{50}$ diyelim. (Örneğin, $a,b,c,d$ sayıları için ikişerli çarpımları toplamı $ab+ac+ad+bc+bd+cd$'dir.) Buna göre$,$ $A_{50}-A_{49}+A_{48}-A_{47}+ \cdots +A_2-A_1$ toplamı neye eşittir?

$\textbf{a)}\ -50!  \qquad\textbf{b)}\ 50!  \qquad\textbf{c)}\ -1  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ -2^{49} \cdot 49!$