Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$x^2+bx+c=0$ denkleminin her iki kökü de tam sayı olup, $b+c=306$ ise bu köklerden küçük olanı kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen denklemin kökleri $u$ ve $v$ olsun. Vieta formüllerinden $$u+v=-b$$ $$uv=c$$ olduğunu biliyoruz. Bu durumda $$306=b+c=uv-u-v\implies (u-1)(v-1)=307$$ elde edilir. $307$ asal olduğundan $(u-1,v-1)=(1,307),(307,1),(-1,-307),(-307,-1)$ olabilir. Buradan da $(u,v)=(2,308),(308,2),(0,-306),(-306,0)$ olur. En küçük kök $-306$ veya $2$'dir. İki farklı değer alabilir.