Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 01

[matematikolimpiyati]

Hem $\%\ 15$ i$,$ hem de $\%\ 33$ ü tam sayı olan en küçük pozitif sayı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{15}{33}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{20}{33}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{100}{33}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{20}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{100}{3}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Bu sayıya $x$ dersek $\dfrac{15x}{100}$ ve $\dfrac{33x}{100}$ sayıları tamsayı olacaktır. Eğer $x=100k$ dersek $15k$ ve $33k$ sayıları tamsayı olacaktır. $k$'nın rasyonel olduğunu görebiliriz. Eğer $k=\dfrac{a}{b}$ dersek $b\mid 15$ ve $b\mid 33$ olacaktır. Dolayısıyla $b\mid \text{EBOB}(15,33)=3$ olacaktır. Eğer $b=1$ ise $k$ tamsayıdır ve en az $k=1$ olacaktır. Eğer $b=3$ ise $k$ en az $\dfrac{1}{3}$ olacaktır. Yani en küçük $x$ sayısı $\dfrac{100}{3}$'dür.

Not: Şıklarda "hiçbiri" olmadığından şıkları deneyip sağlayanların en küçüğü seçilebilir.