Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2007 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin en büyük iki elemanının çarpımının $3/7$ si, geriye kalan elemanların toplamına eşitse, kümedeki sayılardan en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 21$

[ygzgndgn]

Cevap: C

Bu şekilde seçilebilecek en küçük elemanlara sahip kümenin, ardışık pozitif tam sayılardan oluşacağı açıktır. Bunu sağlayan A={a₁, a₂, ... , a_n-1, a_n} şeklinde n elemanlı, pozitif tam sayılardan oluşan bir küme düşünelim. Bu durumda soruda verilen koşul gereği 3a_na_n-1/7 = a₁+a₂+ ... +a_n-2 eşitliği geçerlidir. 3 ve 7 aralarında asal ve 7 asal bir sayı olduğundan a_n-1 veya a_n 7'ye tam bölünmelidir. 7|a_n olarak alalım. Böylelikle a_n=7k (k pozitif tam sayı) olarak yazılır. Bu ifade eşitliğe yazıldığında 3ka_n-1=a₁+a₂+ ... +a_n-2 olarak bulunur. Buradan ardışık pozitif tam sayıların toplamının 3'ün katı olacağı görülür. a_n-1+1=a_n ve a_n-2+1=a_n-1 olduğu kullanılarak bu koşulu sağlayan en küçük a_n sayısının 14 olduğu ve bunu sağlayan A kümesinin {1, 2, ... , 12, 13, 14} şeklinde olduğu görülebilir. Böylelikle cevap 14 olarak bulunur.

[Lokman Gökçe]

Merhaba Yağız, hoş geldin. Ortaokul öğrencisi düzeyi için yorumunu takdir ediyorum.

Çözümün doğru seçeneği veriyor olsa da, içinde önemli eksiklikler de var. Örneğin "şöyle olduğu açıktır, böyle olması aşikardır..." gibi cümleleri çok dikkatli kullanmalıyız. Belki $\{1, 2, 3, 7, a_{5}\}$ gibi daha küçük bir kümede istenen koşul sağlanacaktır. Bunu bilemiyoruz. Ayrıca $7\mid a_n$ veya $7\mid a_{n-1}$ koşulundan sonra neden sadece $7\mid a_n$ durumunu inceleyelim? Belki $7\mid a_{n-1}$ iken daha küçük bir $a_n$ elde edilecektir. Bu gibi şeyler henüz belirsiz olduğu için çözümü biraz daha düşünmeliyiz.


Ben de henüz tam bir çözüm tasarlamadım.  $7\mid a_n$ veya $7\mid a_{n-1}$ koşulunun yanında $$3a_{n}\cdot a_{n-1} = 7(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-2}) \geq 7(1+2+\cdots + (n-2))$$
gibi bir eşitsizliği de kullanabilirim. Çözümüm henüz hazır değil. Tamamlarsam paylaşacağım.

[ygzgndgn]

Hoş bulduk hocam. Yorumlarınız çok değerli, çözümlerimi yaparken daha dikkatli davranmaya çalışacağım. Sizin çözümünüzü de görmek isterim

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

İstenilen özelliğe sahip bir kümenin  elemanlarını küçükten büyüğe doğru sıralanmış olarak $A = \{a_1, a_2, \dots , a_n\}$ ile gösterelim. Ayrıca kısaltma açısından $a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-2}=S$ kullanalım. Bize
$$ 3a_{n}\cdot a_{n-1} = 7S \tag{1}$$
eşitliği veriliyor. Buna göre $7\mid a_{n-1}$ veya $7 \mid a_n$ olmalıdır.

$\bullet$ $a_n$ nin en küçük değerini aradığımız için $a_n =7$ durumuyla başlarız. Böylece $a_{n-1} \leq 6, a_{n-2} \leq 5, \dots $ eşitsizliklerini elde ederiz. Bu durum için $S$ toplamı en fazla $5$ terimin toplamından oluşabilir. $(1)$ den dolayı
$$ 3\cdot 7 \cdot a_{n-1} \leq 7\cdot (1+2+3+4+5) $$
olup $a_{n-1} \leq 5$ elde edilir. Bu ise, kullandığımız pozitif tam sayıların birbirinden farklı olması ile çelişir. Buradaki çelişkiyi daha iyi görmek için
$a_{n-1} = 5$ iken $ 3\cdot 7 \cdot 5 \leq 7\cdot (1+2+3+4) $
$a_{n-1} = 4$ iken $ 3\cdot 7 \cdot 4 \leq 7\cdot (1+2+3) $
v.b. çelişkilerini kullanabiliriz.

$\bullet $  $8\leq a_n \leq 13$ durumuna bakalım. $7 \mid a_{n-1}$ olduğundan $a_{n-1}=7$ dir. $a_{n-2} \leq 6$ olur. Böylece $(1)$ eşitliğinden
$$ 3\cdot a_{n} \cdot 7 = 7S \leq 7(1+2+3+4+5+6) $$
olup $a_{n}\leq 7$ çelişkisi bulunur.

$\bullet $  $a_n =14$ durumuna bakalım. İlk $14$ pozitif tam sayıyı gösteren $1\leq k \leq 14$ için $a_k = k$ dizisi için $(1)$ eşitliğinin sağlandığını görebiliriz. $3\cdot 14 \cdot 13 = 7\cdot (1+2+\cdots + 13)$ olur. Dolayısıyla $A$ kümesinin en büyük elemanının alabileceği en küçük değer $a_n = 14$ tür.

[ygzgndgn]

İlginiz için sağ olun hocam, tamamlayamadığım yerleri de anladım şu an