Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 10

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılarının en küçük ortak katları ile en büyük ortak bölenlerinin farkı $13$ ise $a+b$ kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[yusufipek]

EBOB(a,b)=d olsun. a=dk ve b=dm olacak şekilde aralarında asal k ve m pozitif tamsayıları vardır. O halde EKOK[a,b]=dkm olur. Yerine yazılırsa,

dkm-d=13
d(km-1)=13

olur.

d=1 için: (k,m) = (1,14), (2,7), (7,2), (14,1) olup (a,b) = (1,14), (2,7), (7,2), (14,1) olur. Buradan a+b nin alabileceği farklı değerler, 9 ve 15 tür.

d=13 için: (k,m) = (1,2), (2,1) olup (a,b) = (13,26), (26,13) olur. Buradan a+b nin alabileceği farklı değerler yalnızca 39 dur.

O halde, a+b nin alabileceği 3 farklı değer vardır.

Doğru yanıt C seçeneğidir.