Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 09

[matematikolimpiyati]

Dışbükey bir $ABCDE$ beşgeninin köşeleri bir çember üzerinde yer almaktadır. $AC \cap BD = \{F\},\ BE \cap AD = \{K\},\ CE \cap AD = \{L\}$ olmak üzere$,$ $|AB|=|BK|,\ |CD|=|CL|,\ |EK|=|EL|$ ve $s(\widehat{BFC})=60^{\circ}$ ise $s(\widehat{AED})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 125^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 130^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 135^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 140^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[alpercay]

Yanıt :$\boxed D$

$m(\widehat{BAC})=y, m(\widehat{CAD})=x$ olsun. Bu durumda aynı yayı gören çevre açıların eşitliği ve verilen ikizkenar üçgenlerden dolayı $m(\widehat{AEB})=x, m(\widehat{BEC})=y, m(\widehat{CED})=x$ , $m(\widehat{CDL})=m(\widehat{CLD})=m(\widehat{ELK})=m(\widehat{EKL})=x+y$ , $KLE$ üçgeninin iç açıları toplamından $2x+3y=180$ ve yaylar için $m(CD)=m(AB)=2x$ yazılabilir. $m(\widehat{CFD}=120^{\circ}$ iç açısını kullanarak $$120=2x$$ $$x=60^{\circ}$$ ve $$2x+3y=180$$ eşitliğinden $$y=20^{\circ}$$ bulunur.
Buna göre $m(\widehat{AED})=2x+y=120+20=140^{\circ}$  olur.