Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 10

[matematikolimpiyati]

Kaç $n<2023$ pozitif tam sayısı için $\dfrac{n^6+n^4-n^2-1}{2022}$ ifadesi bir tam sayıdır?

$\textbf{a)}\ 8  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 5  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$2022=2\cdot 3\cdot 337$ ve $n^6+n^4-n^2-1=(n^2+1)^2(n-1)(n+1)$'dir. Çin kalan teoreminden $\dfrac{n^6+n^4-n^2-1}{2022}$ sayısının tamsayı olması için gerekli ve yeterli şart $$(n^2+1)^2(n-1)(n+1)\equiv 0\pmod{2}$$ $$(n^2+1)^2(n-1)(n+1)\equiv 0\pmod{3}$$ $$(n^2+1)^2(n-1)(n+1)\equiv 0\pmod{337}$$ denkliklerinin sağlanmasıdır. İlk iki denkliğin çözümü $n\equiv 1\pmod{2}$ ve $n\equiv 1,2\pmod{3}$'dir. Son denklemde ise $n^2\equiv -1\pmod{337}$ denkliğinin çözümlerine $r_1$ ve $r_2$ dersek ($337$ asalı $4k+1$ formatında olduğundan bu denkliğin $2$ farklı çözümü vardır), bu köklerin $1$ veya $-1$'den farklı olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla bu denkliğin çözümleri $n\equiv 1,336,r_1,r_2\pmod{337}$ olacaktır.

$2$ modunda tek çözüm, $3$ modunda $2$ çözüm, $337$ modunda $4$ çözüm olduğundan $2022$ modunda $1\cdot 2\cdot 4=8$ çözüm olacaktır. Verilen aralıktaki $2022$ sayının hepsi farklı kalanlar verdiğinden $8$ tanesi ifadeyi tamsayı yapar.

[DrLucky]

Son denklemde ise $n^2\equiv -1\pmod{337}$ denkliğinin çözümlerine $r_1$ ve $r_2$ dersek ($337$ asalı $4k+1$ formatında olduğundan bu denkliğin $2$ farklı çözümü vardır), bu köklerin $1$ veya $-1$'den farklı olduğunu görebiliriz.

Sayının formatına göre (örneğin 4k+1) denkliğin kaç çözümü olduğuna nasıl ulaşıyoruz? Bu bir kural mı? Ya da bu şekilde sayının formatına göre kaç çözüm geldiğini nereden öğrenebilirim? 4 dışındaki modlarda da böyle şeyler var mı?

[Metin Can Aydemir]

Sayının formatına göre (örneğin 4k+1) denkliğin kaç çözümü olduğuna nasıl ulaşıyoruz? Bu bir kural mı? Ya da bu şekilde sayının formatına göre kaç çözüm geldiğini nereden öğrenebilirim? 4 dışındaki modlarda da böyle şeyler var mı?

Bu bir teoremdir. Eğer $n$ sayısı $p$ tek asal sayısı için $4,p^k,2p^k$ formatlarından birindeyse $(a,n)=1$ için $x^2\equiv a\pmod{n}$ denkliğinin ya $2$ kökü ya da $0$ kökü vardır. Bu ilkel kök olarak adlandırdığımız bir kavramdan kaynaklanıyor. Merak ediyorsan ilkel kök veya primitive root olarak araştırabilirsin. Bu kavramlar mertebe (order) konusu altında anlatılıyor olabilir. İçeriğini hatırlamıyorum ama Lokman hocanın mertebe konusunda bir çalışma notu vardı. Genel bir formül var ama onu ezberlemek yerine çin kalan teoreminden çözüm sayısını bulmak en idealidir.

Ne zaman çözüm var ne zaman yok durumunda ise Legendre, Jacobi ve Kronecker sembolleri devreye giriyor. Basitçe bunları açıklamak gerekirse, Legendre sadece tek asal sayılara, Jacobi tek sayılara, Kronecker ise tüm sayılara odaklanıyor. Diğer ikisi kafa karıştırabilir ama genelde karşına bu örnekte olduğu gibi sadece tek asal sayı durumu yani Legendre çıkar.

Eğer $p$ tek asal sayısı için $(a,p)=1$ ise $\left(\frac{a}{p}\right)$ ile $x^2\equiv a\pmod{p}$ denkliğinin çözümü olup olmadığını gösteririz. Eğer çözüm varsa $\left(\frac{a}{p}\right)=1$, yoksa $\left(\frac{a}{p}\right)=-1$'dir. Birkaç teorem ile her $a$ sayısı için $x^2\equiv a\pmod{p}$ denkliğinin çözümü olup olmadığını bulabilirsin. Bunlar $$\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)=\left(\frac{ab}{p}\right)$$ $$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$$ $$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$$ $$\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$$ Son eşitlikte $p$ ve $q$ farklı tek asal sayılar olmalı. İkinci kural da bize $n^2\equiv -1\pmod{p}$'nin sadece $p=4k+1$ formatındaysa çözümü olduğunu gösteriyor. En başta bahsettiğim teorem ise $2$ çözümü olduğunu söylüyor.

[Lokman Gökçe]

4n+1 asal konu başlığı altında, bu soruda kullanılan teorem ve ispatı vardır.