Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Rakamları toplamı $9$ olan pozitif tam sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan $2022.$ sayının birler basamağı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Öncelikle en fazla $n$ basamaklı olan ve rakamları toplamı $9$ olan kaç sayı olduğuna bakalım. $x_1x_2\dots x_n$ bu şartı sağlayan bir sayıysa $x_1+x_2+\cdots +x_n=9$ olacaktır. Burada değişkenlere $x_i\geq 0$ haricinde bir koşul koymaya gerek yoktur çünkü değişkenler $9$'u aşamaz. $x_1\neq 0$ gibi durumları da incelemeye gerek yoktur çünkü bu durumlar bize $n-1$ veya daha az basamaklı rakamları toplamı $9$ olan sayıları verir. Yani şartı sağlayan $\dbinom{n+9-1}{9-1}=\dbinom{n+8}{8}$ sayı vardır. $$2002=\dbinom{6+8}{8}<2022<\dbinom{7+8}{8}=5005$$ olduğundan biz $7$ basamaklı sayılardan başlayıp $2022.$ sayıya ulaşmalıyız. $$2003.\text{  sayı}\rightarrow 1000008$$ $$2004.\text{  sayı}\rightarrow 1000017$$ $$\vdots$$ $$2022.\text{  sayı}\rightarrow 1000224$$ olur. Yani $2022.$ sayının birler basamağı $4$'dür.