Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 07

[matematikolimpiyati]

$1 \leq a,b \leq 2022$ ve $\sqrt{a-\sqrt{a+b}}=b$ koşullarını sağlayan kaç $(a,b)$ tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 21  \qquad\textbf{d)}\ 36  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed E$

$$\sqrt{a+b}=x$$ diyelim. $$\sqrt{a-x}=b$$ olur. Kare alıp oluşan denklemleri birbirinden çıkartırsak $$x^2-b^2-(b+x)=0$$ $$(x+b)(x-b-1)=0$$ ve buradan da $$x+b=0,   x-b-1=0$$ olur.
Bu eşitliklerden $$x=\sqrt{a+b}=-b,  \sqrt{a+b}=b+1$$ bulunur. $b$ pozitif olduğundan ikinci eşitlik geçerlidir. Bu eşitliğin karesini alarak $$a=b^2+b+1$$ bulunur.
Şimdi $b$ için bir üst sınır bulalım. $$1\le a,b\le 2022$$ verildiğinden $$b^2+b+1=(b+1/2)^2+3/4\lt 2022$$ olmalı. Biraz denemeyle $b$ nin en çok $44$ olabileceği görülebilir.
Sonuç olarak her $b$ için yalnız bir $a$ sayısı bulunabileceğinden verilen denklemi sağlayan $44$ tane $(a,b)$ tam sayı ikilisi mevcuttur.