Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 02

[matematikolimpiyati]

Tüm pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı kendisinin küpü olan kaç iki basamaklı pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 16  \qquad\textbf{e)}\ 20$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$n$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı $v(n)$ ise pozitif bölenlerinin çarpımı $n^{\frac{v(n)}{2}}$'dır. Yani istenilen şartı sağlayan $n$ sayıları için $v(n)=6$ olmalıdır. $n$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ olsun. O halde $v(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)=6$ olur. $6=2\cdot 3$ olduğundan $n=p^5$ veya $pq^2$ formatında olmalıdır. Bu formattaki sayılar,

$n=p^5$: sadece $32$.
$n=pq^2$: $2\cdot 3^2=18$, $2\cdot 5^2=50$, $2\cdot 7^2=98$, $3\cdot 2^2=12$, $3\cdot 5^2=75$, $5\cdot 2^2=20$, $5\cdot 3^2=45$, $7\cdot 2^2=28$, $7\cdot 3^2=63$, $11\cdot 2^2=44$, $11\cdot 3^2=99$, $13\cdot 2^2=52$, $17\cdot 2^2=68$, $19\cdot 2^2=76$, $23\cdot 2^2=92$.

Toplamda $16$ tane sayı vardır.