Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 18

[matematikolimpiyati]

Ondalık yazılımı $9ABA9$ formunda olan ve $63$ ile tam bölünen kaç farklı beş basamaklı pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen sayıyı $90009+1010A+100B$ olarak yazalım ve $7$ ile $9$ modunda inceleyelim (Çin kalan teoreminden $7$ ve $9$'a bölünmesi yeterlidir). $$9ABA9\equiv 2A+B\equiv 0\pmod{9}$$ $$9ABA9\equiv 3+2A+2B\equiv 0\pmod{7}\implies A+B\equiv 2\pmod{7}$$ $A$ ve $B$ rakam olduğundan $0\leq 2A+B\leq 27$ ve $0\leq A+B\leq 18$ olabilir. Yukarıda bulduğumuz denkliklerden $A+B$ ifadesinin $2,9,16$ olabileceğini, $2A+B$ ifadesinin ise $0,9,18,27$ olabileceğini görebiliriz. $2A+B=27$ olursa $A$ en az $11$ olmalıdır ki bu imkansızdır. $2A+B=0$ olursa $A$ negatif olmalıdır.

Eğer $2A+B=18$ ise $A+B$ ifadesi $2$ veya $16$ olamaz ve $9$ değerleri için $(A,B)=(9,0)$ elde edilir.

Eğer $2A+B=9$ ise $A+B$ ifadesi yine $2$ veya $16$ olamaz. $9$ değeri için $(A,B)=(0,9)$ elde edilir. Toplamda $2$ tane şartı sağlayan beş basamaklı sayı vardır.