Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1998 Soru 3

[matematikolimpiyati]

Bir pozitif tam sayıya, kendisini bölen her asal sayının karesi ile de bölünüyorsa "iyi sayı" diyeceğiz. İki ardışık iyi sayıdan oluşan sonsuz çoklukta sayı çiftinin bulunduğunu gösteriniz.

[geo]

İki iyi sayının çarpımı iyi sayıdır. Tam kareler iyi sayıdır.
$a$ ile $a+1$ iyi sayı olsun. $4$ ve $a(a+1)$ sayıları iyi sayı olduğu için $4a(a+1) = 4a^2 + 4a$ bir iyi sayıdır. $(2a+1)^2 = 4a^2 + 4a + 1$ de iyi sayıdır.
Bir adet ardışık iyi sayı çiftinden $(a,a+1) \rightarrow (4a^2+4a, 4a^2+4a+1)$ dönüşümü ile sonsuz sayıda iyi sayı çifti elde edebiliriz.
$(8,9)$ ardışık iyi sayı çifti olduğu için $(8,9) \rightarrow (288, 289)$ dönüşümünden sonsuz çoklukta iyi sayı çifti elde ederiz.