Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 13

[matematikolimpiyati]

$r$ yarıçaplı bir çemberin içine, her birinin yarıçapı $9$ olan ve herhangi ikisi kesişmeyen dört çember çizilebiliyorsa, $r$ nin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 19  \qquad\textbf{c)}\ 20 \qquad\textbf{d)}\ 21  \qquad\textbf{e)}\ 22$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Tam sayı olma koşulu olmadan olabilecek en küçük yarıçaplı çemberi çizelim. En optimal durum için yarıçapı $9$ olan çemberler birbirine merkezleri kare oluşturacak şekilde teğet olmalıdır. $r$ yarıçaplı çemberin merkezinden, ufak çemberlerden birinin dış teğetine çizilen uzunluk, yarıçap olduğundan $r$'dir. Ayrıca bu doğru parçası ufak çemberin merkezinden geçtiğinden ve büyük çemberin merkezi, küçüklerin merkezinin oluşturduğu karenin de merkezi olduğundan, $r=9+9\sqrt{2}$'dir (yarıçap + karenin köşesinin merkeze olan uzaklığı). En optimal durumda yarıçap $22>9+9\sqrt{2}>21$ olduğundan böyle bir çemberin yarıçapının alabileceği en küçük tam sayı değeri $22$'dir.