Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 27

[matematikolimpiyati]

$x^2+y^2=3$ ve $(x+1)(y-1)=1$ eşitliklerinin her ikisini de sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi için $xy$ aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ -2  \qquad\textbf{b)}\ -1  \qquad\textbf{c)}\ 0  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[taftazani44]

$x^{2}+y^{2}=3$
$\left( x-y\right) ^{2}+2xy=3$ ve

$\begin{aligned}\left( x+1\right) \left( y-1\right) =1\\ xy+y-x-1=1\\ xy-\left( x-y\right) =2\\ xy-2=\left( x-y\right) \end{aligned}$

$\begin{aligned}\left( xy-2\right) ^{2}+2xy=3\\ xy=t    diyelim \\ t^{2}-4t+4+2t-3=0\end{aligned}$

$\begin{aligned}t^{2}-2t+1=0\\ \left( t-1\right) ^{2}=0\Rightarrow t=1\end{aligned}$
yani xy=1 olabilir.