Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 30

[matematikolimpiyati]

Pozitif tam bölenlerinden tam olarak $4$ tanesi tam kare olan bir pozitif tam sayının pozitif tam bölen sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$\textbf{a)}\ 48  \qquad\textbf{b)}\ 56  \qquad\textbf{c)}\ 64 \qquad\textbf{d)}\ 72  \qquad\textbf{e)}\ 80$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$n$'yi bölen en büyük tamkare $m^2$ olsun. $n$'nin tamkare olan tüm bölenleri $d\mid m$ olmak üzere $d^2$ formatındadır. Dolayısıyla $m$'nin $4$ tane pozitif böleni vardır. Yani $m=pq$ veya $p^3$ formatında olmalıdır.

Eğer $m=p^3$ ise $n$'yi bölen en büyük tamkare $p^6$'dır. Buradan $p_i\neq p$ için $n=p^6p_1p_2\cdots p_k$ veya $n=p^7p_1p_2\cdots p_k$ formatında olmalıdır. Buradan pozitif bölen sayısı $7\cdot 2^k$ veya $2^{k+3}$ olabileceği görülür.

Eğer $m=pq$ ise $n$'yi bölen en büyük tamkare $p^2q^2$'dir. Buradan da $p_i\neq p,q$ için $n=p^2q^2p_1p_2\cdots p_k$ veya $n=p^3q^2p_1p_2\cdots p_k$ veya $n=p^2q^3p_1p_2\cdots p_k$ veya $n=p^3q^3p_1p_2\cdots p_k$ formatındadır. Buradan pozitif bölen sayısı $9\cdot 2^k$ veya $3\cdot 2^{k+2}$ veya $2^{k+4}$ olabilir.

Verilen şıklardan sadece $80$ bu formda değildir.