Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 31

[matematikolimpiyati]

$x_1,x_2,...,x_{100}$ negatif olmayan gerçel sayılar ve $x_1+x_2+ \cdots +x_{100}=100$ ise $x_1 . x_2+x_2 . x_3+x_3 . x_4+ ... +x_{98} . x_{99}+x_{99} . x_{100}$ toplamının alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 99  \qquad\textbf{b)}\ 199  \qquad\textbf{c)}\ 2500  \qquad\textbf{d)}\ 5000  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Eray]

Cevap: $\boxed C$

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+\ldots+x_{98}x_{99}+x_{99}x_{100}$ ifadesine bakılırsa görülür ki, tüm terim çarpımlarının indis ikilileri tek-çift hâlindedir. O hâlde, sayıların her biri negatif olmayan gerçel sayılar olduğundan, tek ve çift indisli terimleri ayırarak
$$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+\ldots+x_{98}x_{99}+x_{99}x_{100} \le (x_1+x_3+\ldots+x_{99})\cdot(x_2+x_4+\ldots+x_{100})$$
olduğunu görebiliriz, çünkü eşitsizliğin sağ tarafındaki parantez çarpımının açılımında sol tarafındaki terimlerin her biri mevcuttur.

O hâlde bu iki toplamı $A = x_1+x_3+\ldots+x_{99}$ ve $B = x_2+x_4+\ldots+x_{100}$ olarak gösterirsek,
$$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+\ldots+x_{98}x_{99}+x_{99}x_{100} \le A\cdot B$$ olduğunu biliyoruz.

Soruda verilen $A+B=100$ bilgisini kullanarak aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$A\cdot B \le \left( \dfrac{A+B}2 \right)^2 = \left( \dfrac{100}2 \right)^2 = 2500$$
elde ederiz. Yazmıi olduğumuz son iki eşitsizlikten
$$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+\ldots+x_{98}x_{99}+x_{99}x_{100} \le 2500$$ elde ederiz. Eşitlik durumunun da örneğin
$$x_1 = x_2 = 50, x_3=x_4=\ldots=0$$
alarak sağlandığı görülebilir.