2000 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 11

[matematikolimpiyati]

Yarıçapı $r$ olan çember, yarıçapı $R$ olan çembere $A$ noktasında içten teğettir. Dıştaki çemberin herhangi bir $B$ noktasından içteki çembere çizilen teğetin değme noktası $C$ ve $2|BC|=|BA|$ ise, $\dfrac{r}{R}$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac34  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac45  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac58  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{7}{10}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{11}{20}$

[geo]

Yanıt: $\boxed {A}$

$BA$ doğru parçası içteki çemberi $D$ noktasında kessin. Çemberde kuvvetten $BC^2 = BD \cdot BA \Rightarrow BD = \dfrac {BA} 4$ ve $DA = \dfrac {3\cdot BA}{4}$ elde edilir.

Küçük çemberin merkezi $O_1$, büyük çemberin merkezi $O_2$ olsun. $O_2, O_1, A$ noktaları doğrusal, $O_1A = O_1D$ ve $O_2A = O_2B$ olduğundan $O_1D \parallel O_2B$ dir.

Benzerlikten $\dfrac {r}{R} = \dfrac {AO_1}{AO_2} = \dfrac {AD}{AB} = \dfrac 34$ elde edilir.

[geo]

$r$ yarıçaplı çemberin merkezi $O_1$ olsun.
$B$ yi çap üzerinde alalım.
$BC=1$ dersek $AB=2$ ve $R=1$ olacaktır.
$O_1A = O_1C = r$ ve $O_1B = 2-r$ olacaktır.
$\triangle OCB$ dik üçgeninde Pisagor'dan $r^2 + 1 = (2-r)^2 = 4 - 4r + r^2 \Rightarrow r = \dfrac 34$.
$\dfrac rR = \dfrac {\dfrac 34}{1} = \dfrac 34$.