Sabit açıyla görülen en küçük doğru parçası

[geo]

$\alpha$ açısı, $\ell$ doğrusu ve bu doğru dışında bir $A$ noktası verilsin. $\ell$ üzerinde $\angle BAC = \alpha$ olacak şekilde hareketli $B$ ve $C$ noktaları alınıyor. $d=|BC|$ yi en küçük yapan $B$ ve $C$ noktalarını bulunuz.

[geo]

$A$ dan $\ell$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $\angle ABC= \beta$, $\angle ACB = \theta$ olsun.

$AH = 1$ kabul edelim. Bu durumda $BH = \cot \beta$, $CH = \cot \theta$ ve $BC = \cot \beta + \cot \theta$ olacaktır.
$AB=AC$ için $BC= 2\cot \left (90^\circ - \dfrac \alpha 2 \right ) = 2\cot \dfrac {\beta + \theta}2$.

İddia: $\cot \beta + \cot \theta \geq 2\cot \dfrac {\beta + \theta}2$.

$\dfrac {\cos \beta} {\sin \beta} + \dfrac {\cos \theta} {\sin \theta} = \dfrac {\sin (\beta + \theta)} {\sin \beta \sin \theta} \geq 2\dfrac {\cos \left ( \dfrac {\beta + \theta}{2} \right )}{\sin \left ( \dfrac {\beta + \theta}{2} \right )}$
$\Rightarrow 2\sin^2 \left ( \dfrac {\beta + \theta}{2} \right ) \geq 2 \sin \beta \sin \theta $

$\Rightarrow -\cos (\beta + \theta) + 1 \geq \cos (\beta - \theta) - \cos (\beta + \theta)$

$\Rightarrow 1 \geq \cos (\beta - \theta)$ $\blacksquare$

Bu da $BC$ uzunluğunu en küçük yapan noktaların $AB=AC$ şartını sağlayan noktalar olduğu anlamına gelir.

[geo]

$AB = AC$ olsun.
$[BC]$ üzerinde bir $D$ noktası alalım. $\angle DAE = \angle BAC = \alpha$ olacak şekilde $BC$ üzerinde bir $E$ noktası alalım.
$(B,C)$ ve $(D,E)$ çiftleri sorudaki şartları sağlayan nokta çiftleri.
Her zaman $BC \leq DE$ olduğunu göstereceğiz.

$\angle BAD = \angle CAE = \phi$ olacaktır.
$[BC]$ üzerinde $\angle CAF = \angle BAD = \phi$ olacak şekilde $F$ noktası alalım.
$AD=AF$, $\angle ADE = \angle ABC + \angle BAD = 90^\circ - \alpha / 2 + \phi$, $\angle AED = \angle ACB - \angle CAE = 90^\circ - \alpha / 2 - \phi$ olacaktır.

Bu durumda $AF=AD \leq AE$ olacaktır.
$\triangle FAE$ de $AC$ bir açıortay olacaktır. Açıortay teoremi gereği $FC:CE = AF:AE$ olacağından $FC \leq CE$ elde edilir.
$FC=BD$ ve $CD = BF$ olduğu için $BC \leq DE$ elde edilir.