Dik üçgende iç teğet çemberler {çözüldü}

[geo]

$ABC$ dik üçgeninde hipotenüse ait yükseklik $AH$ dir. $ABH$ ve $ACH$ üçgenlerinin iç teğet çemberleri $BC$ ye sırasıyla $D$ ve $E$ de değsin. $E$ den geçen ve $AD$ ye paralel olan doğru $AH$ ile $F$ de kesişsin. $\angle ADH = 77^\circ$ ise $\angle EFC$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 13
\qquad\textbf{b)}\ 26
\qquad\textbf{c)}\ 32
\qquad\textbf{d)}\ 39
\qquad\textbf{e)}\ 45
$

[Lokman Gökçe]

Genel olarak $CHF$ nin ikizkenar dik üçgen olduğunu ispatlayalım.

$AHC$ nin iç teğet çemberi $[AH]$ ye $J$ noktasında teğet olsun. $ABH \sim CAH$ benzerliği olduğundan $AD$ ve $CJ$ nin bu üçgenlerdeki görevleri aynıdır. Yani $\angle DAH = \angle CAH$ dir. Böylece $AD \perp CJ$ olur. $AD \parallel EF$ verildiğinden $EF \perp CJ$ olur. Dolayısıyla $E$ noktası $CJF$ üçgeninin diklik merkezidir. $JE \perp CF$ olur. $HEJ$ dik üçgeninde eşit teğet parçalarından $|HE|=|HC|$ olup $\angle HJE = \angle HEJ = 45^\circ $ bulunur. Böylece $\angle HFC = \angle HCF = 45^\circ $ elde edilir.



Bu sonucu kullanarak artık problemi kolayca çözebiliriz. $\angle HFE = \angle DAH = 13^\circ $ olup $\angle EFC = 45^\circ - 13^\circ = 32^\circ $ bulunur.