Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 16

[Metin Can Aydemir]

Her tam sayıyı kırmızı ve beyaz renklerinden birine, ne farkları $1$ olan iki kırmızı sayı ne de farkları $k$ olan iki beyaz sayı bulunacak şekilde boyamak mümkünse, $k$ sayısı $10$, $12$, $26$, $33$ ve $42$ değerlerinden kaçını alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Eğer ardışık iki beyaz varsa bunların $n$ ve $n+1$ tam sayılarında olduğunu düşünelim. Bu durumda $n-k$ ve $n-k+1$ kırmızı olmalıdır. Böylece ardışık iki beyaz da bulunamaz. Renkler $\dots K, B, K, B, K, \dots $ şeklinde ilerlemelidir. ($K=$kırmızı, $B=$beyaz renktir.) Yani aynı renkli tam sayıların pariteleri de aynı olmalıdır. Örneğin, çift tam sayılar kırmızı renkli, tek tam sayılar beyaz renkli gibi...

$\bullet$ $k$ çift sayı olsun. $n$ tam sayısının beyaz olduğunu düşünelim. $n+1$ tam sayısı kırmızıdır. Bu durumda $n-k$ tam sayısı beyaz olamayacağına göre kırmızıdır. $n+1$ ve $n-k$ sayıları kırmızı renkli olur. Fakat bu iki sayının pariteleri farklı olduğundan aynı renkli olmaları ile çelişir.

$\bullet$ $k$ tek sayı olsun. Renkler $\dots K, B, K, B, K, \dots $ şeklinde ilerlemelidir ve $k=33$ olabilir. ($k$ herhangi bir tek tam sayı da olabilir.)