Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 14

[Lokman Gökçe]

$3^n + n$ sayısının $13$ ile tam bölünmesini sağlayan $2021$'den küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 52
\qquad\textbf{b)}\ 104
\qquad\textbf{c)}\ 117
\qquad\textbf{d)}\ 130
\qquad\textbf{e)}\ 156
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$n$ nin ardışık pozitif tam sayı değerlerinde $3^n \equiv 3, 9, 1 \pmod{13}$ değerlerini periyodik olarak almaktadır. Bu periyot $3$ tür. $n$ ifadesi de sırasıyla $n\equiv 1,2,3, \dots, 12, 0 \pmod{13}$ değerlerini periyodik olarak almaktadır. Bu periyot $13$ tür. Böylece $3^n +n$ ifadesinin $\mod{13}$ te periyodu $\text{ekok}(3,13)=39$ dur. $1 \leq n \leq 39$ için tablo yapılıp incelenirse $n \equiv 10, 12, 17 \pmod{39}$ değerlerinde $3^n + n \equiv 0 \pmod{13}$ olduğu bulunur.

$2020 = 39\cdot 51 + 31$ olduğundan $1\leq n \leq 1989$ için $51\cdot 3 = 153$ tane $n$ değeri vardır. $1989$ dan sonraki $31$ tam sayı değerinden de $3$ tanesi daha için $3^n + n \equiv 0 \pmod{13}$ olup ($10,12,17 \leq 31$ dir) toplam $153 + 3 = 156$ tane $n$ değeri elde edilir.