Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 04

[Metin Can Aydemir]

$7$ farklı top $5$ farklı kutuya, en az $2$ kutu boş kalacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

$
\textbf{a)}\ 19325
\qquad\textbf{b)}\ 19675
\qquad\textbf{c)}\ 19855
\qquad\textbf{d)}\ 20015
\qquad\textbf{e)}\ 20185
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{A}$

$2$ kutu boş, $3$ kutu doluysa $\dbinom{5}{2}=10$ farklı şekilde boş kutular seçilir. Her topun gidebileceği $3$ yer vardır. $3^7$ durum gelir ama kutuların $3$ tanesinin veya $4$ tanesinin boş olabilir. $3^7-\dbinom{3}{1}\cdot 2^7+\dbinom{3}{2}\cdot 1^7=1806$ olur. $10$ farklı şekilde boş kutuları seçmiştik $18060$ farklı dağıtım yapılır.

$3$ kutu boş, $2$ kutu doluysa $\dbinom{5}{3}=10$ farklı şekilde boş kutular seçilir. Her topun gidebileceği $2$ yer vardır ama hepsi aynı kutuya gidemez. $2^7-2=126$ olur. $126\cdot 10=1260$ farklı dağıtım yapılır.

$4$ kutu boş, $1$ kutu doluysa $\dbinom{5}{4}=5$ farklı şekilde boş kutuyu seçeriz ve tüm toplar son kutuya verilir. $5$ farklı dağıtım yapılabilir.

Tüm durum: $18060+1260+5=19325$ bulunur.