Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1999 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Merkezi $O$ ile gösterilen bir çember ile bu çemberin bir $[AB]$ çapı, $A$ noktasındaki teğeti ve bu çapa paralel olan bir $[CD]$ kirişi çiziliyor. $BC$ ve $BD$ doğrularının $A$ dan geçen teğeti kestikleri noktalar $E$ ve $F$ ile gösterilmek üzere, $|AB|=10$ için $|AE|\cdot |AF|$ çarpımını hesaplayınız.



Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.

[Lokman Gökçe]

Şekilde $ABDC$ ikizkenar yamuk olduğundan $m(\widehat{CAB})=m(\widehat{ABD})$, $m(\widehat{FAC})=m(\widehat{ACB})=90^\circ$ olduğundan $m(\widehat{CAE})=m(\widehat{ABC})=m(\widehat{BFA})$ olup $ABF \sim AEB $ (açı-açı-açı) benzerliği vardır. Böylece $\dfrac{|AB|}{|AE|}=\dfrac{|AF|}{|AB|}$ olup $|AE|\cdot |AF|=|AB|^2$ elde edilir. $|AB|=10$ için $|AE|\cdot |AF|=100$ bulunur.