Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2020 Soru 1

[Eray]

$A B C D$ dışbükey bir dörtgen olsun. $P$ noktası, $A B C D$ nin iç bölgesindedir. Aşağıdaki oran eşitlikleri sağlanmaktadır:
$$\angle P A D: \angle P B A: \angle D P A=1: 2: 3=\angle C B P: \angle B A P: \angle B P C.$$ $\angle A D P$ açısının iç açıortayının, $\angle P C B$ açısının iç açıortayının ve $[A B]$ doğru parçasının orta dikmesinin aynı noktadan geçtiğini gösteriniz.

[AtakanCİCEK]

$\angle ADP$ nin açıortayı ile $\angle PCB$ nin açıortayının kesişim noktası $Q$ olsun. $[AD]$ ve $[BC]$ üzerinden sırasıyla $T$ ve $R$ noktaları alalım öyle ki $\angle TPA =\angle TAP$ ve $\angle RPB = \angle RBP$ olsun.  Açıları yazarak basitçe $PT \perp DQ$  ve $PR \perp CQ$ olduğu görülebilir. O halde $DTQP$ ve  $CRQP$ deltoidleri oluşur. $| QR |=| QP |=| QT| $ bulunur. Aynı zamanda açılar isimlendirilirse

$\angle PTA +\angle PBA =180^{\circ}$ ve $\angle PRB + \angle PAB=180^{\circ}$ olur. O halde $PTAB$ ve $ABRP$ kirişler dörtgenleri elde edilir. Yani

$ABRPT$ kirişler beşgeni olarak bulunur. Aynı zamanda $| QR |=| QP |=| QT|$ eşitliğinden dolayı $Q$ nun merkez olacağını söyleyebiliriz Yani $| QA |=| QB |$ buradan da $AB$ ye yükseklik çizilirse ortaladığı görülür.