Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 14

[Lokman Gökçe]

Bir $a$ pozitif tam sayısı için $1+20^n + 101^n + 2020^n$ toplamının $a$ ile tam bölünebilmesini sağlayan en az bir $n$ pozitif tam sayısı bulunuyorsa, $a$ ya şanslı sayı diyelim. $7$, $11$, $13$, $17$ ve $19$ sayılarından kaç tanesi şanslı sayıdır?

$\text{a)}\ 1 \qquad\text{b)}\ 2 \qquad\text{c)}\ 3 \qquad\text{d)}\ 4 \qquad\text{e)}\ 5$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$A=1+20^n + 101^n + 2020^n$ diyelim.

$A \equiv 1 + (-1)^n + 3^n + 4^n \pmod{7}$ olup $n=1$ için $A \equiv 0 \pmod{7}$ dir.

$A \equiv 1 + (-2)^n + 2^n + (-4)^n \pmod{11}$ olup bir $n$ tek sayı değeri için $(-2)^n + 2^n \equiv 0 \pmod{11}$ olduğundan $A \equiv 1 + (-4)^n \equiv 0 \pmod{11}$ olması için $4^n \equiv 1\pmod{11}$ olmalıdır. Fermat teoremi'ne göre $2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ olduğunda n $4^{5} \equiv 1 \pmod{11}$ olur. Yani $n=5$ tek sayısı vardır.

$A \equiv 1 + 7^n + 10^n + 5^n \pmod{13}$ olur. Tablo yapalım:


\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
  n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
 7^n & 7 & 10 & 5  & 9 & 11 & 1 \\ \hline
 10^n & 10 & 9 & 12 & 3 & 4 & 1 \\ \hline
 5^n & 5 & 12 & 8 & 1 & 5 & 12 \\ \hline
 1^n & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
A & 10 & 6 & 0 & 1 & 0 & 8 \\ \hline
\end{array}


$n=3$ (veya $n=5$) için $A\equiv 0 \pmod{13}$ olmaltadır.

$A \equiv 1 + 3^n + (-1)^n + (-3)^n \pmod{17}$ olur. olup $n$ tek pozitif tam sayıları için $A\equiv 0 \pmod{17}$ olur.

$A\equiv  1 + 1 + 6^n + 6^n \pmod{19}$ olur. $A\equiv 0 1 + 1 + 6^n + 6^n \pmod{19}$ olması için $ 6^n \equiv -1 \pmod{19}$ olacak şekilde bir $n$ pozitif tam sayısı bulunmalıdır. Ancak modülo $19$ için tablo yapılırsa

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
  n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &  9 \\ \hline
 6^n & 6 & 17 & 7  & 4 & 5 & 11 & 9 & 16 & 1\\ \hline
\end{array}

$ 6^n \not\equiv -1 \pmod{19}$ olduğu görülür. Yani verilen beş sayı arasından sadece $19$ şanslı sayı değildir.

[Metin Can Aydemir]

Benzer şeyleri tekrar yazmayacağım ama ifadeyi $(1+20^n)(1+101^n)$ olarak çarpanlarına ayırırsak $20^n\equiv -1 \pmod{a}$ veya $101^n\equiv -1 \pmod{a}$ denkliklerini sağlayan $n$ tamsayısı olması istenilen şartı sağlar (verilen değerler asal sayı olduğu için bunu incelememiz yeterlidir). $7,11,13,17$ için birkaç denemeyle bulunabilir. $19$ için $20^n\equiv 1\pmod{19}$ olur ve $101^{2n}\equiv 6^{2n}\equiv 1\pmod{19}$ olmalıdır. Buradan $2n\mid 19-1$ bulunur. Olası $n$ değerleri denenirse çözüm olmadığı gözlemlenebilir.